上海尚德实验学校

加强思想方法教学　提高数学教学效率

刘小平 2006年4月 上海黄浦区教育学院鉴定论文 

 摘要：本文阐述了加强数学思想方法教学的重要意义，以及借助类比等方法学习相似知识减轻学生过重课业负担，运用猜想、归纳等方法探求解题思路提高学生问题解决的能力，揭示反映学科本质的基本的数学思想方法提升学生数学素养的实践经验。对实施两年的加强数学思想方法教学试验进行了初步总结，提出“帮助学生学会基本的数学思想方法”应成为数学课程改革的目标之一。

 关键词：数学思想方法        数学思想方法教学

 在高考指挥棒下形成的，以解题训练为核心，“高密度、大容量、快节奏”的高中数学教学模式，将学生训练成解题机器，不但使学生负担越来越重，而且使很多学生逐渐厌恶数学，失去了学习的动力。我校是上海二期课改数学教材的首批试点学校，我努力实践以学生发展为本的理念，在让学生学好基础知识的同时，努力加强数学思想方法教学，在激发学生对数学的兴趣，减轻过重的课业负担，提高学生思维能力和数学素养等方面取得了一定的成效。

 

一、加强数学思想方法教学

 

数学思想方法乃数学之精髓，数学思想方法教学应贯穿于数学教学的全过程。下面简要介绍我在数学基础知识学习、解题思路探求以及揭示反映学科本质的基本数学思想方法等方面进行的实践和探索。

 

1.借助类比方法学习相似知识、减轻学生过重课业负担

 波利亚说，类比就是相似。中学数学教材中有许多相似的内容，例如正、余弦函数的研究方法，解不等式与解方程、指数函数与对数函数、等比数列与等差数列、抛物线与双曲线等数学知识之间就有许多相似之处。对这些内容若能借助类比方法进行教学，就能突出重点，事半功倍，减轻学生过重的课业负担。

 例如，在《复数的平方根与立方根》一节教学中重点解决复数的平方根，特别是解决负数的平方根，由学生类比出立方根的求法：

 提问（1）-1的平方根是多少？为什么？

 

    （2）


的平方根是多少？为什么？

 

    （3）

的平方根是多少？为什么？

 

    （4）

的平方根是多少？为什么？

 让学生体验解决问题的相同过程，帮助学生找到解决问题的方法。

 提问（5）求复数

的平方根？

  学生自然得出：设

是7-24

的平方根，则：

 

，再利用复数相等的定义解出

。

 由此概括出复数平方根的定义。

 

课堂练习：

 让学生做了两道求复数平方根练习后，再进一步练习：
 

在复数范围内解下列方程：

 

（1）

       （2）

 

更进一步提出：在复数范围内解方程：

 

学生类比平方根的求法：设

是1的一个立方根，则

。教师提出利用复数相等的定义列出的方程组如何求出

呢？我们能否化归为平方根的问题？学生想出：

，并且顿悟：这个问题我们前面已经解决了！

 此时，教师顺势提出立方根的定义，及教材的教学要求。

 2.用猜想、化归等方法探求解题思路，提高学生问题解决的能力

 在解题教学中，重点不是讲如何证明如何计算，而是让学生学会如何想，如何在已知条件与待求结论之间建立起逻辑联系。我除了介绍常用的分析法、综合法外，还努力运用猜想、化归等数学思想方法帮助学生探求解题思路，从而有效地提高了学生的思维能力和分析问题解决问题的能力。

 

例如：设

，且

，比较1，

三个数的大小。

少数优秀学生会想到解法：

 




 



 

   可是，为什么会想到这个解法？似乎又讲不清楚。多数学生只是在三个数中任取两个数进行比较大小，然后再与余下的的数比较大小，带有很大的盲目性，并且运算量较大。我在教学中引导学生取特殊值进行试验:

取

，

，则

，



 

 于是可以猜想：


，再可按前面的方法证明这个猜想。

这样就很好地揭示了为什么只比较1和

，1和

的大小，同时让学生学会了运用归纳猜想探索结论的数学思想方法。这种方法对于比较四个、五个甚至更多个数的大小其优越性尤其突出。并且对于解决其他类型问题也很有用。

我在“不等式证明”和“利用不等式求最大、小值”教学中突出了将问题归结为基本不等式个化归思想方法，学生学起来就感到比较容易。 

 

3．        揭示反映学科本质的基本思想方法，提升学生的数学素养

 

数形结合是解析几何的基本思想方法，我在解析几何教学中，十分重视让学生在学好直线方程、圆锥曲线等基础知识的同时，使学生充分领悟数形结合方法的作用。
 

例如：求以点A（3，

）为圆心，且与直线

：

相切的圆的方程。
 

解答本题的关键在于求出圆的半径，学生对该题的解题思路较多，主要有如下3种解法。

 

解法1：着眼于找切点。因为切点的位置同时在切线

和切点与圆心的连线

上，因此由

可得直线

的斜率为-2，于是直线

的方程为

，将它与切线

的方程联立，可求得坐标（2，1），故圆的半径为

 

 
 

解法2：直接用圆心的标准方程与切线

的方程联立，再注意到“相切”这个特殊条件，于是可利用方程组解的唯一性求得圆的半径。
 

设圆的方程为

，与切线方程

联立消去

，可得到一个关于

的二次方程，再由判别式

就可求得

。
 

解法3：发现圆的半径正是圆心到切线的距离，于是很快求得圆的半径为

 

。

 

接着，引导同学们对以上三种解法作出评价。经过热烈的讨论，同学们认识到：解法3最简捷，这是它充分有效地利用了圆的几何性质：圆心到切线的距离恰为圆的半径。但是，如果不是圆，比如抛物线，这种方法就会失效。因此，解法2虽然运算量略大些，但具有普遍性，比较有推广价值。学生领悟到解决解析几何问题，离不开“数”与“形”的联系，“数形结合”是解决这类问题的强有力的思想方法。只要善于发现，合理利用题目涉及的图形所特有的几何特征，就能大大简化运算量，使解题变得方便。

 

二．初步成效

 为了探索数学思想方法教学的有效性，笔者从2002年9月到2004年7月在所教的两个高中普通班进行对照实验。实验班学生的学习基础比对照班略差，其他情况都大致相同。我在（6）班按原来的方法进行教学，关注的是基础知识和基本技能的学习和训练；而在（8）班则加强了数学思想方法的学习和训练。经过两年试验，测试数据如下：
 

 

可见，加强数学思想方法的教学后，学生的成绩有了显著提高。

 

笔者还对实验前后学生对数学学习的兴趣作了调查。令人高兴的是，加强数学思想方法教学后，学生在提高成绩的同时，对数学学习的兴趣也有了一定提高。甚至，一些文艺特长生（高考数学成绩仅作参考）对数学也表现出了较浓的兴趣。

 

三．几点体会
 

1．数学思想方法是数学知识的灵魂。加强数学思想方法教学，可以帮助学生更深入地理解数学知识的实质，从一个更高层面把握数学知识的体系结构，达到“会当凌绝顶，一览众山小”的境界。这对于激发数学学习兴趣，减轻过重课业负担，提高分析问题解决问题的能力，乃至促进学生终身发展都有着重大作用。课程改革的重要标志之一，是看学生的学习内容是不是真正体现了人类文化的基本精神，体现了人类基本经验和核心价值。“帮助学生学会基本的数学思想方法”应成为新一轮数学课程改革的基本目标之一。
 

2．数学思想方法教学不同于数学知识教学，有其特有的规律。数学思想方法教学不能一次完成，应按照学生的心理特点和认知规律循序进行。我在实验中体会到朱成杰教授提出的“多次孕育、初步形成、应用发展”的数学思想方法训练序确有指导作用。数学思想方法教学不能游离于数学知识单独进行，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是数学知识的灵魂。数学思想方法教学必须在学生的数学活动中展开，离开了学生的数学思维活动，数学思想方法教学就不能存在。要提高数学思想方法教学的有效性，必须精选问题、创设情景、精心设计，将掌握数学知识和数学思想方法学习同时纳入教学目标。

 

3．由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，处于深层。欲能洞察隐藏在知识背后的思想方法，自觉地进行数学思想方法教学，需要教师具有较高的数学修养。因此，新时期的数学教师必须不断加强业务学习，要掌握数学方法论、数学发展史、数学哲学、数学思想方法的基础知识。更加重要的是，需要教师更新数学教育观念，不断提高对数学思想方法教学重要性的认识，真正认识到只有让学生在数学思想方法的高度上掌握数学知识，才能较好地形成数学能力，受益终身，实现素质教育的目标。

四、     参考资料

 

1、《高中数学教与学》2002.2《问题 思维 发展》郭其俊
 

2、《高中数学教与学》2002.6《注重过程贵在实践》刘向东 尹家玺

 

3．《数学思想方法教学研究导论》文汇出版社 朱成杰著

 

4．《数学思想方法入门》上海科学技术出版社

 

5．《上海市中小学数学课程标准》（试行稿） 上海市教育委员会